这是一篇献给我恋人的高等数学教程。为了适应她的基础，我为不少东西做了铺垫。当然，普通读者同样适合这篇文章。在我与她不断学习的过程中，这篇文章也会不断更新。
第一章 函数
1.1 函数是什么
函数是什么呢？对我而言，它像一个“指令清单”，负责把一个东西（数字，或者其它很多事物）变成另一个东西。这就是函数的本质。
我们可以把这个东西叫做 输入（或参数、自变量），而把变换之后的结果叫做 输出（或函数值）。
在数学里，我们常用类似 f(x) 的记号表示函数：
- f：函数名（来自 function）
- x：输入（自变量）
- f(x)：函数作用后的结果（函数值）
当然，f 只是一个常用的名字。我们还常用 g、h 等（按字母顺序），甚至 sin、log 这样的名字。
一个例子
还记得这样的式子吗？
$$ 6x^2 - 12x - 18 $$
这类式子通常叫做 表达式。它也可以写成一个函数：
$$ f(x) = 6x^2 - 12x - 18 $$
这意味着：
- 函数名是 f
- 输入是 x
- 函数值是等号右边的表达式结果
通常来说，如果表达式对输入没有特殊限制（比如 $\tfrac{1}{x}$ 限制 $x \neq 0$，因为分母不能为 0），那么 $x$ 就是一个实数。
什么是实数？
实数包含 有理数 和 无理数。
- 有理数：能写成分数形式，分子和分母是整数
- 正数： $7.12 = \tfrac{178}{25}$
- 负数： $-11.03$
- 零： $0$
- 无理数：不能写成分数
- $\pi$、$\sqrt{2}$
与实数相对的是 虚数，它们通常由对负数开平方得到。比如：$\sqrt{-1} = i$
但在初等高数里，我们通常不讨论虚数。
定义域与值域
刚刚我们提到，函数如果对输入没有特殊限制，那么自变量 $x$ 通常是一个实数。那么，如何表示函数的输入可能是哪些值呢？这就是定义域描述的事情。
定义域（Domain）指的就是一个函数所有合法的输入（$x$）的集合。换句话说，就是 $x$ 可以是哪些数。
对于我们之前的例子 $f(x) = 6x^2 - 12x - 18$ 来说，它的输入 $x$ 可以是任何实数，因为平方、乘法和减法对任何实数都有效。所以它的定义域是全体实数（我们通常用符号 $\mathbb{R}$ 表示）。
但有些函数就比较“挑剔”了。比如：
- $g(x) = \tfrac{1}{x}$：因为分母不能为 0，所以它的输入 $x$ 就不能是 0。它的定义域就是除 0 以外的所有实数。
- $h(x) = \sqrt{x}$：在实数范围内，我们不能对负数开平方，所以它的输入 $x$ 必须大于或等于 0。它的定义域就是所有非负实数。
既然我们明确了输入（定义域），那么所有可能的输出又会形成一个怎样的集合呢？这就是值域（Range）要告诉我们的。
值域（Range）就是一个函数在它的定义域内，能够产生的所有输出（函数值 $f(x)$）的集合。
我们再来看看刚才的例子：
- $g(x) = \tfrac{1}{x}$：它的输出可以是任何数，但唯独不可能是 0。因为不存在一个数，使得 1 除以它等于 0。所以它的值域是除 0 以外的所有实数。
- $h(x) = \sqrt{x}$：它的输出结果永远不会是负数。所以它的值域是所有非负实数。
- $f(x) = 6x^2 - 12x - 18$：这是一个二次函数。经过一些计算可以知道，它的输出值永远不会低于 -24。所以它的值域是大于或等于 -24 的所有实数。
简单来说：
- 定义域：我们能给函数输入哪些东西？
- 值域：函数能给我们输出哪些东西？
一个函数的定义域和值域是它的重要特征，它们共同描述了函数的“工作范围”。
这个函数做了什么？
回到刚才的函数：
$$ f(x) = 6x^2 - 12x - 18 $$
它的“指令清单”是：
- 输入一个 $x$
- 计算 $x^2$，再乘以 6
- 减去 $12x$
- 再减去 18
- 得到结果 $f(x)$
由此可见：
- 对于同一个输入，输出总是唯一确定的。
- 因为函数的指令清单是固定的，执行多少次都不会变。
这也是函数的重要性质。由此我们可以进一步引出集合与映射的概念（通常也是课本里的定义）。
1.2 函数的参数
形参与实参
在函数中，输入 $x$ 被称为 形式参数（这是计算机科学里的术语，在这里也很有用），简称 形参。它只是一个“代号”，用来在函数的指令清单里引用输入。它可以是任何字母。
注：输入、输出等都是计算机科学的术语。你在数学学习中最好使用 自变量 和 函数值。
在程序设计中，代号甚至常常是一个单词（为了方便阅读和理解代码）。而我的高中数学老师有时喜欢用 t 这个字母。因此，我们也可以把函数写作：
$$ f(t) = 6t^2 - 12t - 18 $$
它与写作 $f(x)$ 完全没有区别。这里的 t 也是 形式参数（形参）。
实际参数（实参）
与 形参 相对应的是 实际参数（实参）。
- 当我们真正使用（计算机科学中叫“调用”）函数时，需要给它一个输入，这个输入就是 实参。
- 例如：我们把数字 3 输入给函数 $f$，就写作：
$$ f(3) $$
这表明：你把 3 作为参数传递给了函数 $f$。 在计算机科学中，这个过程叫做 传参。
举几个例子
1. 实参是一个常数
输入 3：
$$ f(3) = 6 \times 3^2 - 12 \times 3 - 18 = 54 - 36 - 18 = 0 $$
2. 实参是一个变量
实参也可以是一个变量。例如有一个变量 a，我们将它的两倍（2a）作为输入：
$$ \begin{aligned} f(2a) &= 6 \times (2a)^2 - 12 \times (2a) - 18 \\ &= 6 \times 4a^2 - 24a - 18 \\ &= 24a^2 - 24a - 18 \end{aligned} $$
即：
$$ f(2a) = 24a^2 - 24a - 18 $$
这里，我们用 2a（实参） 替换了所有的 x（形参）。
3. 实参是一个更复杂的表达式
如果我们输入 3x+5：
$$ \begin{aligned} f(3x+5) &= 6 \times (3x+5)^2 - 12 \times (3x+5) - 18 \\ &= 6 \times (9x^2 + 30x + 25) - 36x - 60 - 18 \\ &= 54x^2 + 180x + 150 - 36x - 78 \\ &= 54x^2 + 144x + 72 \end{aligned} $$
即：
$$ f(3x+5) = 54x^2 + 144x + 72 $$
这里的 $3x+5$ 是一个 实际参数。 它和定义式 $f(x) = 6x^2 - 12x - 18$ 里的 x（形参） 不一样。
- 定义式里的 x 只是一个代号。
- 而传入的参数（例如 $3x+5$）才是真正的变量或表达式，代表“可能是很多数”的集合。
一个练习
读到这里，我们来看看这样的问题：
如果 $f(x+1) = x^2 - 2x$ 那么 $f(x) = ?$
解答
题目告诉我们：
$$ f(x+1) = x^2 - 2x $$
注意：这里的输入参数是 x+1，而不是单纯的 x。 这意味着，函数的“形参”被替换成了 $x+1$。
要找到 f(x)，我们就需要 把 x+1 换回成普通的 x。
步骤 1：做一个代换
令：$t = x + 1$，则我们很容易得到 $x = t - 1$。
因此我们用 $t - 1$ 代换等号右边所有的 $x$，同时函数括号里的 $x+1$ 自然变成了 $t$：
$$ f(t) = (t-1)^2 - 2(t-1) $$
步骤 2：展开化简
$$ \begin{aligned} f(t) &= (t-1)^2 - 2(t-1) \\ &= (t^2 - 2t + 1) - (2t - 2) \\ &= t^2 - 2t + 1 - 2t + 2 \\ &= t^2 - 4t + 3 \end{aligned} $$
步骤 3：还原回 f(x)
因为 $t$ 只是一个代号，所以我们就可以得到 $f(x) = x^2 - 4x + 3$。
1.3 函数图像与方程
我们接下来看看函数的图像，它是帮助我们理解函数的重要工具，对之后对导数与积分的了解也至关重要。我们还是拿 $f(x) = 6x^2 - 12x - 18$ 这个二次函数作为例子：
这就是 $f(x) = 6x^2 - 12x - 18$ 的函数图像。我们经常看到 $y = f(x)$ 的表达方式，这种等式的本质是在定义一个名为 $y$ 的变量，它的值是 $f(x)$ 的输出（函数值）。
当我们更改变量 $x$ 的值，函数的输出，即 $f(x)$ 的值会被改变，因此变量 $y$ 的值也会改变。于是我们便把这里的 $x$ 称为 自变量，$y$ 称为 因变量。
注意，这里的 $x$ 与 $y$ 仍然只是代号。如果我们构建 $x = f(y)$，那么 $x$ 就会变成因变量。回到函数图像，我们能观察到一条 抛物线。
二次函数与常数
二次函数的图像都是这样的抛物线，只要函数符合：$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$ 的形式。
而在我们的例子中，$a = 6$、$b = -12$、$c = -18$。
其中，$a$、$b$、$c$ 被称为 常数，这是因为在同一个函数中，它们的值不会改变。
它们与参数不同：
- 参数的值可能是很多东西，取决于调用时传递的值。
- 常数则是固定不变，是函数“指令清单”的重要组成部分。
如果更改了常数，我们本质上就改变了函数本身。也就是说，我们在构造一个新的函数。
例如令 $c = 0$，我们可以构造 $g(x) = 6x^2 - 12x$；令 $b = 0, c = 0$，得到 $h(x) = 6x^2$，等等。
我们把这三个函数的图像绘制到一起，来观察一下。
截距
首先来看函数与坐标轴的交点：
- $g(x)$ 与 $h(x)$ 与 $y$ 轴的交点都在点 $(0, 0)$ 处，这意味着当 $x = 0$ 时，$y = 0$。
- 这是因为它们的函数表达式中，$c$ 的值都为 0 —— 也就是说常数项为 0。
我们把一个多项式中不含有未知数的项叫做 常数项。
而 $f(x)$ 与 $y$ 轴交于 $(0, -24)$ 处，这意味着当输入 0 时，$f(x)$ 的输出为 $-24$。 这被称为函数的 纵截距（或 y 截距）。
对应地，函数与 $x$ 轴交点的横坐标称为 横截距，也称为 根 或 零点。也就是说，零点实际上是一个数，而不是一个点。
什么是多项式？
多项式指的是：变量（未知数）与常数（系数）通过加减法、乘法或自然数次的幂这样的运算组合而成的表达式。
例如 $7x^2 + 3x - 5$ 这个多项式中，未知数（变量）是 $x$。$7x^2$ 叫做二次项，其中 7 是二次项的系数。而 $-5$ 则是常数项，它实际上可以写做 $-5x^0$（因为任何数的 0 次方都是 1，而 1 乘以一个数的结果仍是这个数本身）。
对于 $g(x)$ 和 $h(x)$，由于它们的常数项是 0，所以如果输入 $x = 0$，整个式子结果也是 0。
而 $f(x)$ 的情况不同，它与 $y$ 轴交于 $(0, -24)$。
方程与零点
从图像中，我们可以看到，$f(x)$ 的零点为 $x = -1$ 和 $x = 3$。这也是方程$f(x) = 0$，即 $6x^2 - 12x - 18 = 0$ 的根。
方程的本质是一个等式，这可以从它的英文名（equation，等式、方程）中看出。
而方程的根是某一个或几个实数，用它代替方程中的未知数，可以恰好使等式成立。
因为函数的零点就是使函数值为 0 时的自变量，所以当自变量的值等于函数零点时，$f(x) = 0$ 这个等式恰好成立。
于是我们发现：
函数的零点就是方程 $f(x) = 0$ 的根。
到这里，我们已经了解了函数的两个基本性质：截距和零点。接下来我们要看看另外两个重要性质：单调性与奇偶性。
单调性与奇偶性
还记得我们的函数 $f(x) = 6x^2 - 12x - 18$ 的图像吗？ 从图像中，你能否看出：随着输入（自变量 $x$）的增大，函数值（输出 $y$）有什么样的增长趋势？
我们可以观察到，图像是关于直线 $x=1$ 对称的（在图中用虚线表示），这条直线被称作图像的对称轴。在对称轴左侧（$x<1$），我们能观察到图像呈现下降趋势，而在右侧（$x>1$）则是上升趋势。
在数学上，我们称该函数在 $(-\infty,1)$ 区间上单调递减，而在 $(1,+\infty)$ 区间上单调递增。
关于“区间”的概念，请见 1.4 节。
我们也很容易发现，图像在 $x=1$ 处出现了转折。我们叫这个点为函数的极值点。同时，在这个例子中，这个点还是函数的最值点，具体地说，是最小值点。关于极值点和最值点，我们稍后会介绍。
如果函数一直呈现增长或下降的趋势，而没有任何转折，那么我们称这个函数是单调函数。如果一直增长，就是单调递增函数；反之，如果一直下降，则为单调递减函数。
一个小灶：函数单调如何用数学符号语言表达
如果一个函数 $f(x)$ 的定义域是 $I$，那么该函数单调递增可以这么描述：
$$ \forall x_1, x_2 \in I, ; (x_1 < x_2 \implies f(x_1) \leq f(x_2)) $$
是不是看不懂？我们一步步拆解。
首先，从整体上来说，这一串符号描述的是：
随意取两个数 $x_1$ 和 $x_2$，满足：它们都在函数的定义域内，且 $x_1 < x_2$。
那么，如果 $f(x)$ 是单调递增函数，$f(x_1)$ 就一定小于 $f(x_2)$。
更通俗地说：自变量（输入）小，函数值（输出）就一定更小；反正，自变量更大，函数值就一定更大。
而这些符号和我们的描述是怎样对应的呢？我们一个个来看。
首先是 $\forall x_1, x_2 \in I$，这里面 $\forall$ 符号的意思是“对于所有”或者“任意”，而 $\in$ 是“属于”。
也就是说，它代表：“对于所有属于 $I$ 的 $x_1, x_2$”，也就是在函数的定义域内的任意的数 $x_1$ 和 $x_2$。